Question

12．如圖，已知直線AB：y=kx+2k+2與拋物線y=x²交于點A、B，當∠AOB＞90°，則k的取值范圍為k＜-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 將y=kx+2k+2代入y=x²，得x²-kx-2k-2=0，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及根與系數(shù)的關系得出y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₁•x₂=-2k-2，那么y₁•y₂=4k²+8k+4當∠AOB=90°時，如圖1，過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．證明△AOM∽△OBN，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出y₁•y₂=-x₁•x₂，依此列出關于k的方程，求出k的值，進而得出當∠AOB＞90°時，k的取值范圍．

解答 解：將y=kx+2k+2代入y=x²，得x²-kx-2k-2=0，
∵y=kx+2k+2與拋物線y=x²相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
∴y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₁•x₂=-2k-2，
∴y₁•y₂=（x₁²）•（x₂²）=（-2k-2）²=4k²+8k+4
當∠AOB=90°時，如圖，
過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．
在△AOM與△OBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOM=OBN=90°}\\{∠OAM=∠BON=90°-∠AOM}\end{array}\right.$，
∴△AOM∽△OBN，
∴$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AM}{ON}$，即$\frac{-{x}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴y₁•y₂=-x₁•x₂，
∴4k²+8k+4=-2k-2，
∵k＜0，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴當∠AOB＞90°時，k＜-$\frac{3}{2}$，
故答案為：k＜-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用相似三角形的性質得出y₁•y₂=-x₁•x₂是解題關鍵．