Question

如圖，過點N（4，-3）的拋物線y=x²+bx+5與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點M，點P是在y軸正半軸上的一個動點（點P、M、N不在同一條直線上）．分別過點A、B作直線NP的垂線，垂足分別為E、F，連接ME、MF．
（1）點A的坐標是

 

，B的坐標是

 

；
（2）證明△MFE是等腰三角形；
（3）△MFE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把N（4，-3）代入拋物線y=x²+bx+5，可求出b的值，得出拋物線解析式，令0=x²-6x+5即可得到點A與B的坐標；
（2）過點M作MR∥BF交AF于點R，交EF于點Q，利用三角形中位線，易得出RM是PN的中垂線，即可得出△MFE是等腰三角形；
（3）當(dāng)直線PN過點A時交拋物線對稱軸于點F，先求出直線PN的解析式，再求出點F的坐標，可證得BF⊥PN，即△MFE能為等腰直角三角形．

解答：解：（1）把N（4，-3）代入拋物線y=x²+bx+5，得-3=16+4b+5，解得b=-6，
所以拋物線y=x²-6x+5，令0=x²-6x+5，得x₁=1，x₂=5，
所以點A的坐標是（1，0），B的坐標是（5，0），
故答案為：（1，0），（5，0）．
（2）如圖1，過點M作MR∥BF交AF于點R，交EF于點Q

∵M是AB的中點，
∴R是AF的中點，
∵AE∥BF，MR∥BF，
∴AE∥MR，
∴點Q是EF的中點，
∵AE⊥EF，
∴RM是PN的中垂線，
∴ME=MF，
∴△MFE是等腰三角形；
（3）能，
如圖2，當(dāng)直線PN過點A時交拋物線對稱軸于點F，

∵點A的坐標是（1，0），N（4，-3），
∴直線PN的解析式為y=-x+1，
∵M（3，0）
∴F（3，-2），∠MAF=∠EFM=45°，
∵MF=MB=ME=2，
∴∠MFB=45°，
∴∠AFB=90°，
∴BF⊥PN，
∵∠EMF=90°
∴△MFE能為等腰直角三角形．此時點P的坐標為（0，1）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征．