Question

11．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3，6），點B在y軸上．
（1）求m的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E，設(shè)線段PE的長為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（3）D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段AB上存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形，求出此時P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接把點A的坐標代入直線y=x+m求出m的值即可．設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²，再把點A的坐標代入求出a的值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)P、E兩點的縱坐標分別為y_P，y_E，再由PE=h=y_P-y_E即可得出h與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PE=DC，再由點D在直線y=x+3上得出D點坐標，進而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A（3，6）在直線y=x+m上，
∴6=3+m，
∴m=3．
設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²，
∵點A（3，6）在二次函數(shù)的圖象上，
∴6=a（3-1）²，解得a=$\frac{3}{2}$，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{2}$（x-1）²，即y=$\frac{3}{2}$x²-3x+$\frac{3}{2}$；

（2）設(shè)P、E兩點的縱坐標分別為y_P，y_E，
則PE=h=y_P-y_E=（x+3）-（$\frac{3}{2}$x²-3x+$\frac{3}{2}$）=-$\frac{3}{2}$x²+4x+$\frac{3}{2}$，即h=-$\frac{3}{2}$x²+4x+$\frac{3}{2}$（0＜x＜3）；

（3）∵四邊形DCEP是平行四邊形，
∴PE=DC．
∵點D在直線y=x+3上，
∴D（1，4），
∴-$\frac{3}{2}$x²+4x+$\frac{3}{2}$=4，解得x₁=$\frac{5}{3}$，x₂=1（舍去），
∴當P（$\frac{5}{3}$，$\frac{14}{3}$）時，四邊形DCEP是平行四邊形．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，難度較大．