Question

3．如圖，在△ABC中E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，四邊形CDFE的面積為7，則△ABC的面積=21．

Answer 1

分析 證明S_△ABF=4S_△DEF（設(shè)為μ），S_△ABC=4S_△CDE，列出有關(guān)面積λ、μ的方程組，解方程組即可解決問題．

解答 解，如圖，連接DE．
∵E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∵DE∥AB，
∴△ADE與△BDE的面積相等，
∴△AEF與△BDF的面積也相等，設(shè)為λ；
∵△DEF∽△ABF，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{DE}{AB}$）²=$\frac{1}{4}$；
∴S_△ABF=4S_△DEF（設(shè)為μ），
∴四邊形ABDE的面積=2λ+5μ；
同理可證：S_△ABC=4S_△CDE，
∴S_△CDE=$\frac{1}{3}$（2λ+5μ）；
∵S_{四邊形CDFE}=7，
∴μ+$\frac{1}{3}$（2λ+5μ）=7①；
∵BD=CD，
∴S_△ABD=S_△ACD，而S_△BDF=S_△AEF，
∴S_△ABF=S_{四邊形DCEF}=7，
即4μ=8②，
聯(lián)立①②并解得：λ=4，μ=2，
∴△ABC的面積=4μ+2λ+7=21．
故答案是：21．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力、運(yùn)算求解能力均提出了一定的要求．