Question

12．定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=3，MN=4求BN的長；
（2）已知點C是線段AB上的一定點，其位置如圖2所示，請在BC上畫一點D，使C，D是線段AB的勾股分割點（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）
（3）如圖3，正方形ABCD中，M，N分別在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分別交BD于E，F(xiàn)
求證：①E、F是線段BD的勾股分割點；
②△AMN的面積是△AEF面積的兩倍．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)MN為最大線段時，由勾股定理求出BN；②當(dāng)BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可；
（2）①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；
（3）①如圖3中，將△ADF繞點A順時針性質(zhì)90°得到△ABH，連接HE，只要證明△EAH≌△EAF，推出EF=HE，再證明∠HBE=90°即可．
②如圖4中，連接FM，EN．首先證明△AEN是等腰直角三角形，△AFM是等腰直角三角形，推出AM=$\sqrt{2}$AF，AN=$\sqrt{2}$AE，由S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•AN•sin45°，S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF•sin45°，即可解決問題．

解答 解：（1）解：（1）①當(dāng)MN為最大線段時，
∵點M，N是線段AB的勾股分割點，
∴BM=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
②當(dāng)BN為最大線段時，
∵點M，N是線段AB的勾股分割點，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
綜上，BN=$\sqrt{7}$或5；

（2）作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；
③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；
點D即為所求；如圖2所示．

（3）①如圖3中，將△ADF繞點A順時針性質(zhì)90°得到△ABH，連接HE．

∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
∵EA=EA，AH=AD，
∴△EAH≌△EAF，
∴EF=HE，
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，
∴∠HBE=90°，
在Rt△BHE中，HE²=BH²+BE²，
∵BH=DF，EF=HE，
∵EF²=BE²+DF²，
∴E、F是線段BD的勾股分割點．

②證明：如圖4中，連接FM，EN．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，
∴△AFE∽△DFN，
∴∠AEF=∠DNF，$\frac{AF}{DF}$=$\frac{EF}{FN}$，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{DF}{FN}$，∵∠AFD=∠EFN，
∴△AFD∽△EFN，
∴∠DAF=∠FEN，
∵∠DAF+∠DNF=90°，
∴∠AEF+∠FEN=90°，
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM=$\sqrt{2}$AF，AN=$\sqrt{2}$AE，
∵S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•AN•sin45°，
S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF•sin45°，
∴$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△AEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}AM•AN•sin45°}{\frac{1}{2}AE•AF•sin45°}$=2，
∴S_△AMN=2S_△AEF．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了新定義“勾股分割點”、勾股定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，本題難度較大，綜合性強，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．