Question

5．如圖，DE是△ABC的中位線，過點(diǎn)C作CF∥BD交DE的延長線于點(diǎn)F
（1）求證：EF=DE；
（2）若AC=BC，判斷四邊形ADCF的形狀．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)三角形的中位線定理得出AE=EC，然后根據(jù)CF∥BD得出∠ADE=∠F，繼而根據(jù)AAS證得△ADE≌△CFE，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推出EF=DE；
（2）首先證得四邊形ADCF是平行四邊形、四邊形DBCF也為平行四邊形，從而得到BC=DF，然后根據(jù)AC=BC得到AC=DE，從而得到四邊形ADCF是矩形．

解答 解：（1）∵DE是△ABC的中位線，
∴E為AC中點(diǎn)，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠F}\\{∠AED=∠CEF}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE=FE．

（2）解：四邊形ADCF是矩形．
∵DE=FE，AE=AC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴BC=DF，
∵AC=BC，
∴AC=DE，
∴四邊形ADCF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理的知識(shí)，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，難度不大．