Question

16．如圖，BF為⊙O的直徑，直線AC交⊙O于A，B兩點，點D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于點E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若 BF=10，sin∠BDE=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）先連接OD，根據(jù)∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根據(jù)DE⊥AC，可得OD⊥DE，進而得出直線DE是⊙O的切線；
（2）先連接DF，根據(jù)題意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根據(jù)$\frac{BD}{BF}$=sinF=sin∠BDE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得BD=2$\sqrt{5}$，在Rt△BDE中，根據(jù)sin∠BDE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得BE=2，最后依據(jù)勾股定理即可得到DE的長．

解答 解：（1）如圖所示，連接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴直線DE是⊙O的切線；

（2）如圖，連接DF，
∵BF是⊙O的直徑，
∴∠FDB=90°，
∴∠F+∠OBD=90°，
∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠F=∠BDE，
在Rt△BDF中，$\frac{BD}{BF}$=sinF=sin∠BDE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=10×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$，
∴在Rt△BDE中，sin∠BDE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=2$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2，
∴在Rt△BDE中，DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{16}$=4．

點評 本題主要考查了切線的判定以及解直角三角形的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造等腰三角形以及直角三角形，解題時注意：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．