Question

9．如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）連接BG，求BG的長及cosE的值．

Answer 1

分析 （1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；
（2）根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問題轉化為求cos∠CBG，進而轉化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題，根據(jù)BG=BC•cos∠CBG即可求出BG．

解答 （1）證明：如圖，連接OD、CD．
∵BC是直徑，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中點．
∵O為CB的中點，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴EF是圓O的切線．

（2）解：連BG．
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°．
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=8．
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=$\frac{AB•CD}{AC}$=$\frac{96}{10}$=$\frac{48}{5}$．
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{14}{5}$．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴cos∠E=cos∠CBG=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{24}{25}$，
∴BG=BC•cos∠CBD=10×$\frac{24}{25}$=$\frac{48}{5}$．

點評 本題考查的是切線的判定，銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．