Question

7．如圖，已知直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=-x²+bx+c經過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以$\sqrt{2}$個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設運動時間為t秒．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，△APQ為直角三角形；
（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求得直線AB與x軸、y軸的交點坐標，然后將點A、點B的坐標代入拋物線的解析式得到關于b、c的方程組求得b、c的值從而可得到拋物線的解析式；
（2）由點A、B的坐標可知OB=OA，從而可求得∠BAO=45°，然后分為∠PQA=90°和∠QPA=90°兩種情況求解即可；
（3）由題意可知：EP∥FQ，EF∥PQ，故此四邊形EFQP為平行四邊形，從而得到PE=FQ，然后設點P的坐標為（t，0）則可表示出點Q、E、F的坐標，從而可求得PE、FQ的長，最后根據(jù)PE=FQ列方程求解即可．

解答 解：（1）∵y=-x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴當y=0時，x=3，即A點坐標為（3，0），當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3）．
∵將A（3，0），B（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°．
如圖①所示：∠PQA=90°時．

設運動時間為t秒，則QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{QA}{PA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}t}{3-t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：t=1．
如圖②所示：∠QPA=90°時．

設運動時間為t秒，則QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{PA}{AQ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{3-t}{\sqrt{2}t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$．
綜上所述，當t=1或t=$\frac{3}{2}$時，△PQA是直角三角形．

（3）如圖③所示：

設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，-t+3），
則EP=3-t．點Q的坐標為（3-t，t），點F的坐標為（3-t，-（3-t）²+2（3-t）+3），即F（3-t，4t-t²），
則FQ=4t-t²-t=3t-t²．
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴四邊形EFQP為平行四邊形．
∴EP=FQ，即3-t=3t-t²．
解得：t₁=1，t₂=3（舍去）．
將t=1代入得點F的坐標為（2，3）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了一次函數(shù)圖象上的點的坐標與函數(shù)解析式之間的關系、待定系數(shù)法二次函數(shù)的解析式、等腰三角形三角形的性質和判定、平行四邊形的判定，用含t的式子表示EP和FQ的長是解題的關鍵．