Question

10．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在△ABC外，且∠BDC=45°，AE⊥BD于E．
（1）探究BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）點F與點D關(guān)于直線BC對稱，連接BF，AF，DF，探究BC與AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用45度角構(gòu)造等腰直角三角形△BDN，再證明四邊形AEMN是矩形得到AE=MN=$\frac{1}{2}$BD即可．
（2）如圖2只要證明B、F、C在以A為圓心的圓上即可以．

解答 解：（1）結(jié)論：BD=2AE，理由如下：
作BN⊥DC于N，NM⊥BD垂足為M．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=$\sqrt{2}$AB，
∵∠BND=90°，∠D=45°，
∴∠NBD=90°-∠D=45°，
∴∠NBD=∠D=45°，∠BND=90°，
∴$BD=\sqrt{2}$BN，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BN}=\sqrt{2}$，
∵∠ABC=∠NBD=45°，
∴∠ABN=∠CBD，
∴△CBD∽△ABN，
∴∠D=∠ANB=45°，
∵∠BMN=90°，∠MBN=45°，
∴∠BNM=90°-∠NBM=45°，
∴∠ANM=∠ANB+∠BNM=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEM=∠NME=∠ANM=90°，
∴四邊形AEMN是矩形，
∴MN=AE，
∵∵∠NBD=∠D=∠BNM=∠MND=45°，
∴MN=BM=MD，
∴BD=2AE．
（2）結(jié)論：BC=$\sqrt{2}$AF，理由如下：
連接CF，∵D、F關(guān)于BC對稱，
∴∠BFC=∠BDC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=2∠BFC，
∴B、F、C在以A為圓心的圓上，
∴AF=AB=AC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴$BC=\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AF．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識，利用45度角添加輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．