Question

13．如圖，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB與⊙O相切于點C，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 由AB為圓的切線，得到OC⊥AB，再由OA=OB，利用三線合一得到C為AB中點，且OC為角平分線，在直角三角形AOC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OC的長，利用勾股定理求出AC的長，進而確定出AB的長，求出∠AOB度數(shù)，陰影部分面積=三角形AOB面積-扇形AOB面積，求出即可．

解答 解：連接OC，
∵AB與圓O相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，
在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=2，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即AB=2AC=4$\sqrt{3}$，
則S_陰影=S_△AOB-S_扇形=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2-$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．
故圖中陰影部分的面積為4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及扇形面積計算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．