Question

6．已知拋物線(xiàn)y=x²+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，p，q滿(mǎn)足p²=4q+4
（1）拋物線(xiàn)在x軸上截得的線(xiàn)段AB長(zhǎng)是否是定值？若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1），當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求p+q的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），令y=x²+px+q中y=0得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出“x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q”，再將AB=x₂-x₁變形為只含x₁+x₂與x₁•x₂的形式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）分AC=BC、AB=BC和AB=AC三種情況討論．結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)、AB=2即可得出x₁，x₂的值，代入x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q中即可求出p、q的值，將二者相加即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
令y=x²+px+q中y=0，則x²+px+q=0．
∵x₁，x₂為方程x²+px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴AB=x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{（-p）^{2}-4q}$=2．
∴拋物線(xiàn)在x軸上截得的線(xiàn)段AB長(zhǎng)是定值，且AB=2．
（2）△ABC是等腰三角形分三種情況（如圖所示）：
①當(dāng)AC=BC時(shí)，有OA=OB，
∵AB=2，
∴x₁=-1，x₂=1．
∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴p=0，q=-1，
∴p+q=-1；
②當(dāng)AB=BC時(shí)，則BC=AB=2，
∵OC=1，
∴OB=$\sqrt{3}$，
∴x₂=-$\sqrt{3}$，x₁=-$\sqrt{3}$-2．
∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴p=2$\sqrt{3}$+2，q=3+2$\sqrt{3}$，
∴p+q=5+2$\sqrt{3}$；
③當(dāng)AB=AC時(shí)，則AC=AB=2，
∵OC=1，
∴OB=$\sqrt{3}$，
∴x₁=$\sqrt{3}$，x₂=$\sqrt{3}$+2．
∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴p=-2$\sqrt{3}$-2，q=3+2$\sqrt{3}$，
∴p+q=1．
綜上可知：當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，p+q的值為-1、5+2$\sqrt{3}$或1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)p²=4q+4找出AB=2；（2）分AC=BC、AB=BC和AB=AC三種情況討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是關(guān)鍵．