Question

如圖，在Rt△POQ中，OP=OQ，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B．求證：MA=MB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，可得四邊形OEBF是矩形，根據(jù)三角形的中位線定理可得ME=MF，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角邊角”證明△AME和△BMF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明．

解答：證明：如圖，過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，
∵∠O=90°，
∴四邊形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中點，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=

1

2

OQ=2，MF=

1

2

OP=2，
∴ME=MF，
∴四邊形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，

∠AME=∠BMF  ME=MF ∠AEM=∠BFM

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角的性質(zhì)，三角形的中位線定理，作出輔助線，把動點問題轉(zhuǎn)化為固定的圖形，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．