Question

10．四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角平分線依次交于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)若能構(gòu)成一個(gè)四邊形，則該四邊形叫做四邊形ABCD的特征四邊形．
（1）證明下列命題為真：“平行四邊形ABCD的特征四邊形是矩形”；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷其真假，若是真命題，則予以證明；若不是真命題，請(qǐng)舉出反例；
（3）若平行四邊形ABCD變成矩形，判斷它的特征四邊形形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三個(gè)角是90°的四邊形是矩形即可證明．
（2）真命題．分別證明AD∥BC，AB∥CD即可．
（3）結(jié)論：四邊形EFGH是正方形．只要證明DE=AE，DH=AF即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵AF平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠FAB+∠FBA=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠F=180°-（∠FAB+∠FBA）=90°，同理可證∠H=90°，∠DEA=∠FEH=90°，
∴四邊形EFGH是矩形．

（2）是真命題．
∵四邊形EFGH是矩形，
∴∠F=90°，
∴∠FAB+∠FBA=90°，
∵∠DAB=2∠FAB，∠ABC=2∠FBA，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，同理可證AB∥CD，'∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（3）結(jié)論：四邊形EFGH是正方形．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∵AF平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠FAB=∠FBA=45°，
∴FA=FB，同理可證ED=EA，GC=GB，HD=HC，
∵△ABF≌△DCH，
∴AF=DH，∵ED=EA，
∴EF=EH，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴四邊形EFGH 是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查明天與定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)．矩形的判定和性質(zhì)正方形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．