Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（2，3），過(guò)點(diǎn)A的直線與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)C，且tan∠CAO=$\frac{1}{3}$．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸；
（2）聯(lián)結(jié)AB、BC，求∠ABC的正切值；
（3）若點(diǎn)D在x軸下方的對(duì)稱軸上，當(dāng)S_△DBC=S_△ADC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（3，0）和點(diǎn)B（2，3）代入y=-x²+bx+c，解方程組即可解決問(wèn)題．
（2）如圖，作BE⊥OA于E．只要證明△AOC≌△BEA，推出△ABC是等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題．
（3）如圖過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交對(duì)稱軸于D，則S_△DBC=S_△ADC，先求出直線AC的解析式，再求出直線CD的解析式即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把A（3，0）和點(diǎn)B（2，3）代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
對(duì)稱軸x=1．

（2）如圖，作BE⊥OA于E．
∵A（3，0），B（2，3），tan∠CAO=$\frac{1}{3}$，
∴OC=1，
∴BE=OA=3，AE=OC=1，∵AEB=∠AOC，
∴△AOC≌△BEA，
∴AC=AB，∠CAO=∠BAE，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAO+∠BAE=90°，
∴∠CAB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴tan∠ABC=1．

（3）如圖過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交對(duì)稱軸于D，則S_△DBC=S_△ADC，
∵AB⊥AC，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵直線AC的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1，
∴直線CD的解析式為y=-3x-1，當(dāng)x=1時(shí)，y=-4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用平行線，尋找等面積的三角形，屬于中考�？碱}型．