Question

3．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D
（1）求證：BE=CF；
（2）當四邊形ACDE為平行四邊形時，求證：△ABE為等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=CD；
（2）首先證得△AFC為等腰直角三角形，然后即可證得△ABE為等腰直角三角形．

解答 解：（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
∴BE=CF；
（2）在□ABCD中，∠EAC+∠ACF=180°
∴∠EAF=∠BAC=45°
∴∠FAB+∠ACF=90°
又AF=AC
∴∠F=∠ACF
∴∠FAB+∠F=90°
∴∠ACF=45°
∴△AFC為等腰直角三角形
∴△ABE為等腰直角三角形

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質(zhì)．