Question

14．如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，CO⊥AB于點(diǎn)O，弦CD與AB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，DE交AB的延長線于點(diǎn)E．過點(diǎn)A作⊙O的切線交ED的延長線于點(diǎn)G．
（1）求證：GE是⊙O的切線；
（2）若OA=2，∠G=50°，求弧$\widehat{AD}$的長；
（3）若OF：OB=1：3，BE=4，求OB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，先證明∠3=∠1，再證明∠C=∠4，然后利用∠3+∠C=90°得到∠1+∠4=90°，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由切線的性質(zhì)得∠OAG=90°，則利用四邊形內(nèi)角和可計(jì)算出∠AOD=130°，然后根據(jù)弧長公式可計(jì)算出弧$\widehat{AD}$的長；
（3）設(shè)OF=x，則OB=3x，則可表示出BF=2x，再利用∠1=∠2得到ED=EF=2x+4，然后在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理得到（3x）²+（2x+4）²=（4+3x）²，再解方程求出x即可得到OB的長．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵∠1=∠2，
而∠2=∠3，
∴∠3=∠1，
∵OC⊥AB，
∴∠3+∠C=90°，
∴∠1+∠C=90°，
而OC=OD，
∴∠C=∠4，
∴∠1+∠4=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴GE是⊙O的切線；
（2）解：∵AG為切線，
∴AG⊥AB，
∴∠OAG=90°，
而∠ODG=90°，
∴∠AOD=180°-50°=130°，
∴弧$\widehat{AD}$的長=$\frac{130•π•2}{180}$=$\frac{13}{9}$π；
（3）解：設(shè)OF=x，則OB=3x，
∴BF=2x，
∵∠1=∠2，
∴ED=EF=2x+4，
在Rt△ODE中，∵OD²+DE²=OE²，
∴（3x）²+（2x+4）²=（4+3x）²，解得x=2，
∴OB=3x=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判斷與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．常見的輔助線有：判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”； 有切線時(shí)，常�！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．也考查了弧長公式．