Question

【題目】如圖，拋物線，經過點，，三點．

求拋物線的解析式及頂點M的坐標；

連接AC、MB，P為線段MB上的一個動點（不與點M、B重合），過點P作x軸的垂線PQ，若OQ=a，四邊形ACPQ的面積為s，求a為何值時，面積s最大；

點N是拋物線上第四象限的一個定點，坐標為 ，過點C作直線軸，動點在直線l上，動點在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當m為何值時，的和最小，并求出和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；M（1,4）

（2）當，面積最大，最大為.

（３）

【解析】

（1）拋物線過，，可求得解析式；

（2）將用含的代數式表示，并配方成頂點式求出最大值；

（3）根據選址造橋模型，將頂點向下平移三個單位得，當 在同一條直線上時，取得最小值.

(1)∵拋物線經過點，，,

∴ 解得

∴=,頂點M的坐標為（1,4）

（2）連接AC、MB，P為線段MB上的一個動點（不與點M、B重合），過點P作x軸的垂線PQ.設P點的坐標為 ，如圖所示.

∵P在直線MB上，，，設直線MB為

解得

直線MB的解析式為，P點坐標為

∵，，，

∴，，

∵

整理

∴即當，面積最大，最大為.

（3）將頂點向下平移三個單位得 ，連接 交軸于點，連接．如圖所示，則.

∵，

∴軸，且

∴，四邊形為平行四邊形

∴,有圖知三點共線時，取最小值.

設直線的解析式為，將點，N

求得直線的解析式為，

當時，，即，即，

此時過點作軸交延長線與點，

在中，，，

∴,

∴,即,

∴當時，的最小值為.