Question

17．P為△ABC內(nèi)一點，且PA=4，PC=5，PB=3，將△APC繞點A逆時針旋轉使P與P’對應，C與B對應，則四邊形AP′BP的面積為（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$+6
• B． 12$\sqrt{3}$+6
• C． 60
• D． 42

Answer 1

分析 先連接PP'，判定△APP'是等邊三角形，得出PP'=AP=4，進而得出S_△APP'=4$\sqrt{3}$，再根據(jù)△BPP'是直角三角形，且∠BPP'=90°，可得S_△BPP'=6，進而得到四邊形AP′BP的面積．

解答 解：如圖，連接PP'，
由旋轉可得，∠PAP'=∠CAB=60°，AP=AP'，
∴△APP'是等邊三角形，
∴PP'=AP=4，
∴S_△APP'=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
由旋轉可得，BP'=CP=5，
∴BP²+P'P²=25=P'B²，
∴△BPP'是直角三角形，且∠BPP'=90°，
∴S_△BPP'=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴四邊形AP′BP的面積為4$\sqrt{3}$+6，
故選：A．

點評 本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定以及勾股定理的逆定理的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形以及直角三角形．