Question

6．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，F(xiàn)是邊DC上一點(diǎn)，射線(xiàn)AF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)G．
（1）探究AG、FG的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）設(shè)DF為x，四邊形ADFG面積為y，求x、y的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)∠BAG=∠CAF，∠ABG=∠ACF=45°，判定△ABG∽△ACF，進(jìn)而得出$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，再根據(jù)∠GAF=∠BAC=45°，即可得到△AGF∽△ABC，據(jù)此可得AG、FG的關(guān)系；
（2）根據(jù)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，DF=x，即可得到AF²=4²+x²=16+x²，再根據(jù)S_{四邊形ADFG}=S_△ADF+S_△AFG，進(jìn)行計(jì)算即可得到x、y的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）如圖，連接AC，則∠BAC=∠∠GAF=45°，
∴∠BAG=∠CAF，
又∵∠ABG=∠ACF=45°，
∴△ABG∽△ACF，
∴$\frac{AG}{AF}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，
又∵∠GAF=∠BAC=45°，
∴△AGF∽△ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∵AB=BC，
∴AG=FG；

（2）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，DF=x，
∴AF²=4²+x²=16+x²，
∵S_{四邊形ADFG}=S_△ADF+S_△AFG，
∴y=$\frac{1}{2}$×4×x+$\frac{1}{4}$（16+x²）=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+2x+4（0＜x≤4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解決問(wèn)題．