Question

如圖，△ABC中，AB=AC，BC=6，O是BC的中點(diǎn)，圓O與兩腰相切，動(dòng)點(diǎn)P在圓O上，過(guò)點(diǎn)P的圓O切線分別和AB，AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，E． BD•CE的值是常量嗎？若是常量，請(qǐng)求之；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：BD•CE的值是常量，連接OD，OE，AO并延長(zhǎng)交BC于P′易證△ADE是等腰三角形，所以∠ADB=∠AED，由題意可知O為△ADE的內(nèi)心，所以DO平分∠ADE，OE平分∠AED，所以∠BDO=∠CEO，進(jìn)而證明△DBO∽△ECO，由相似三角形的性質(zhì)可得BD•CE的值．

解答：解：BD•CE的值是常量，
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DBO=∠ECO，
∵過(guò)點(diǎn)P的圓O切線分別和AB，AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，E，
∴OP⊥DE，
∵O是BC的中點(diǎn)，
∴AO⊥BC，
∴A，O，P′三點(diǎn)共線，
∴BC∥DE，
∴∠ADB=∠AED，
由題意可知O為△ADE的內(nèi)心，
∴DO平分∠ADE，OE平分∠AED，
∴∠BDO=∠CEO，
∴△DBO∽△ECO，
∴

BO

CE

=

BD

CO

，
∴BD•CE=BO•CO=3×3=9，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出△BOD∽△CEO是解題關(guān)鍵．