Question

如圖，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，BF與CF相交于F
（1）如圖①，若∠F=30°，求∠E的度數(shù)；
（2）如圖②，若設(shè)∠F=α，∠E=β，請(qǐng)你猜想α與β之間的關(guān)系（直接寫出結(jié)果不用說(shuō)明理由）；
（3）在圖③中，（2）中α與β之間的關(guān)系是否仍然成立？若成立說(shuō)明理由，若不成立寫出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EN∥AB，根據(jù)AB∥DC可知FM∥CD，EN∥CD，故可得出∠1=∠3，∠2=∠4．∠ABE=∠5，∠DCE=∠6，再由BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，可知∠1=

1

2

∠5，∠2=

1

2

∠6，由此即可得出結(jié)論；
（2）同（1）即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，根據(jù)AB∥DC，可知FM∥CD，故∠1=∠3，∠2=∠4，再由BF平分∠ABE，CF平分∠DCE可得出∠EBF=∠1=∠3，∠ECF=∠2=∠4，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可知α+β+（∠EBF+∠ECF）=360°，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖①過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EN∥AB．
∵AB∥DC，
∴FM∥CD，EN∥CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．∠ABE=∠5，∠DCE=∠6
∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，
∴∠1=

1

2

∠5，∠2=

1

2

∠6，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=

1

2

（∠5+∠6），即∠BFC=

1

2

∠BEC．
∵∠BFC=30°，
∴∠BEC=60°；

（2）β=2α．
理由：如圖②，過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EN∥AB．
同（1）可得∠BFC=

1

2

∠BEC，
∵∠BFC=α，
∴∠BEC=2∠BFC=2α，即β=2α；

（3）不成立．
如圖③，過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，
∵AB∥DC，
∴FM∥CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，
∴∠EBF=∠1=∠3，∠ECF=∠2=∠4，
∴∠EBF+∠ECF=∠1+∠2=α，
∵α+β+（∠EBF+∠ECF）=360°，
∴α+β+α=360°，即2α+β=360°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．