Question

3．如圖，一次函數(shù)y=2x-2與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象相交于點C，E，與x軸相交于點D，過點D作DA⊥x軸交反比例函數(shù)的圖象于點A，過點C作CB⊥x軸于點B．
（1）若點A與點E關(guān)于原點對稱，求$\frac{CB}{AD}$的值；
（2）連接AC，若∠CAD=45°，求點C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可先求得D點坐標(biāo)，則可求得A點橫坐標(biāo)，利用對稱性可知E點橫坐標(biāo)，則可求得E點和A點坐標(biāo)，從而可求得反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求得C點坐標(biāo)，從而可求得AD和CB的值，可求得其比值；
（2）可設(shè)C（x，y），過C作CF⊥AD于點F，則CF=AF，可表示出A點坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，把C點坐標(biāo)代入直線解析式，則可得到關(guān)于x、y的方程組，可求得C點坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=2x-2中，令y=0可求得x=1，
∴A（1，k），
∵A、E關(guān)于原點對稱，
∴E（-1，-k），
∵點E在直線y=2x-2上，
∴-k=-2-2，解得k=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（2，2），且A（1，4），
∴BC=2，AD=4，
∴$\frac{BC}{AD}$=$\frac{1}{2}$；

（2）設(shè)C（x，y），則BC=y，BD=x-1，
如圖，過C作CF⊥AD于點F，

∵∠CAD=45°，
∴AF=CF=BD=x-1，DF=BC=y，
∴AD=x-1+y，
∴A（1，x-1+y），
∵A、C都在反比例函數(shù)圖象上，
∴x-1+y=xy，
∵點C在一次函數(shù)圖象上，
∴y=2x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1+y=xy}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$（不合題意，舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{3}{2}$，1）．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、方程思想等知識．在（1）中求得A點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中找到C點坐標(biāo)所滿足的兩個關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．