Question

如圖，AB和CD分別是⊙O上的兩條弦，過點O分別作ON⊥CD于點N，OM⊥AB于點M，若ON=

1

2

AB，證明：OM=

1

2

CD．

Answer 1

考點：垂徑定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：設圓的半徑是r，ON=x，則AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的長，然后根據(jù)垂徑定理求得CD的長，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的長，即可證得．

解答：證明：設圓的半徑是r，ON=x，則AB=2x，
在直角△CON中，CN=

OC2-ON2

=

r2-x2

，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=2

r2-x2

，
∵OM⊥AB，
∴AM=

1

2

AB=x，
在△AOM中，OM=

OA2-AM2

=

r2-x2

，
∴OM=

1

2

CD．

點評：此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解垂．