Question

4．如圖所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B．把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，拋物線過點B、C和D（3，0）．
（1）求直線BD和拋物線的解析式；
（2）若BD與拋物線的對稱軸交于點M，點N在坐標軸上，以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點N的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點P，使S_△PBD=6？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（4）點Q是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點Q使得|BQ-CQ|的值最大，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系數法求出直線BD和拋物線的解析式；
（2）首先確定△MCD為等腰直角三角形，因為△BND與△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答圖1所示，符合條件的點N有3個；
（3）如答圖2、答圖3所示，解題關鍵是求出△PBD面積的表達式，然后根據S_△PBD=6的已知條件，列出一元二次方程求解；
（4）BC的延長線與對稱軸的交點為點Q，利用待定系數法求出直線BC的解析式，再將x=2代入求出點Q的縱坐標即可．

解答 解：（1）∵直線l：y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（-1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，
∴C（1，0）．
設直線BD的解析式為：y=kx+b，
∵點B（0，3），D（3，0）在直線BD上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=-1，b=3，
∴直線BD的解析式為：y=-x+3．
設拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），
∵點B（0，3）在拋物線上，
∴3=a×（-1）×（-3），
解得：a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．

（2）拋物線的解析式為：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點坐標為（2，-1）．
直線BD：y=-x+3與拋物線的對稱軸交于點M，令x=2，得y=1，
∴M（2，1）．
設對稱軸與x軸交點為點F，則CF=FD=MF=1，
∴△MCD為等腰直角三角形．
∵以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，
∴△BND為等腰直角三角形．
如答圖1所示：
（I）若BD為斜邊，則易知此時直角頂點為原點O，
∴N₁（0，0）；
（II）若BD為直角邊，B為直角頂點，則點N在x軸負半軸上，
∵OB=OD=ON₂=3，
∴N₂（-3，0）；
（III）若BD為直角邊，D為直角頂點，則點N在y軸負半軸上，
∵OB=OD=ON₃=3，
∴N₃（0，-3）．
∴滿足條件的點N坐標為：（0，0），（-3，0）或（0，-3）．

（3）假設存在點P，使S_△PBD=6，設點P坐標為（m，n）．
（I）當點P位于直線BD上方時，如答圖2所示：
過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=n，DE=m-3．
S_△PBD=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE=$\frac{1}{2}$（3+n）•m-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$（m-3）•n=6，
化簡得：m+n=7 ①，
∵P（m，n）在拋物線上，
∴n=m²-4m+3，
代入①式整理得：m²-3m-4=0，
解得：m₁=4，m₂=-1，
∴n₁=3，n₂=8，
∴P₁（4，3），P₂（-1，8）；
（II）當點P位于直線BD下方時，如答圖3所示：
過點P作PE⊥y軸于點E，則PE=m，OE=-n，BE=3-n．
S_△PBD=S_梯形PEOD+S_△BOD-S_△PBE=$\frac{1}{2}$（3+m）•（-n）+$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$（3-n）•m=6，
化簡得：m+n=-1 ②，
∵P（m，n）在拋物線上，
∴n=m²-4m+3，
代入②式整理得：m²-3m+4=0，△=-7＜0，此方程無解．
故此時點P不存在．
綜上所述，在拋物線上存在點P，使S_△PBD=6，點P的坐標為（4，3）或（-1，8）．

（4）∵B（0，3），C（1，0），
∴直線BC的解析式為：y=-3x+3，
∴當x=2時，y=-3×2+3=-3．
∴點Q（2，-3）．

點評 本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、相似三角形的判定與性質、圖形面積計算、解一元二次方程等知識點，考查了數形結合、分類討論的數學思想．第（2）（3）問均需進行分類討論，避免漏解，第（4）問利用對稱性判斷出點Q的位置．