Question

1．已知拋物線C₁：y=x²-4x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，平移直線BC，至PQ，點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，且CP=QB，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)解析式可以求得點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)稱軸的值，從而可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，且CP=QB，可以求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而可以解答本題．

解答 解：∵y=x²-4x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，
∴y=0時(shí)，x=1或x=3；x=0時(shí)，y=3；對(duì)稱軸為：x=$-\frac{-4}{2×1}=2$．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x²-4x+3）．
∵CP=QB，
∴$\sqrt{（2-0）^{2}+（y-3）^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+（{x}^{2}-4x+3-0）^{2}}$①．
∵平移直線BC，至PQ，
∴BC∥PQ．
∴$\frac{3-0}{0-3}=\frac{{x}^{2}-4x+3-y}{x-2}$②．
由①②解得，x=2+$\sqrt{3}$或x=2-$\sqrt{3}$或x=5．
∴當(dāng)x=2+$\sqrt{3}$時(shí)，x²-4x+3=2；當(dāng)x=2-$\sqrt{3}$時(shí)，x²-4x+3=2；當(dāng)x=5時(shí)，x²-4x+3=8．
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+$\sqrt{3}$，2）或（2-$\sqrt{3}$，2）或（5，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是可以求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件可以列出相應(yīng)的方程，會(huì)解方程組．