Question

18．如圖，在菱形ABCD中，P是對角線AC上的一點，且PA=PD，⊙O為△APD的外接圓．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，則∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切；
（2）連接OP，OA，過點D作DE⊥AC于點E，由tan∠DAC=$\frac{1}{2}$可知DF=$\frac{1}{2}$AF，設(shè)AC=4a，則AF=2a，DF=a，AD=$\sqrt{5}$a，AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，OE=OP-PE=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$-$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，再根據(jù)勾股定理求出a的值，進而可得出AC的長．

解答 解：（1）直線AB與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，如圖，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直線AB與⊙O相切；
（2）連結(jié)BD交AC于點F，則AC⊥BD．設(shè)⊙O的半徑為r．
設(shè)AC=4a，
∴AF=2a，
∵tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，
∴DF=a，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
在Rt△AEP中，∵tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，
∴EP=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AE²+OE²=OA²，
即（$\frac{\sqrt{5}}{2}$a）²+（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$-$\frac{\sqrt{5}}{4}$a）²=（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$）²，
解得：a=2，
∴AC=4a=8．

點評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)以及勾股定理．