Question

6．在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為3的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上．
（1）小明發(fā)現(xiàn)DG=BE且DG⊥BE，請(qǐng)你給出證明．
（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)△ADG的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正方形得到條件，判斷出△ADG≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）利用正方形的性質(zhì)在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2從而得出AM=DM=$\sqrt{2}$，在Rt△AMG中，AM²+GM²=AG²從而得出GM=$\sqrt{7}$即可．

解答 （1）如圖1，延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE
在△ADG與△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠AGD=∠AEB，
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠AEB+∠ADG=90°，
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，
∴∠DHE=90°，
∴DG⊥BE；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DG交DG于點(diǎn)M，

∠AMD=∠AMG=90°，
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角，
∴∠MDA=45°
在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45°，AD=2，
∴AM=DM=$\sqrt{2}$，
在Rt△AMG中，
∵AM²+GM²=AG²
∴GM=$\sqrt{7}$，
∵DG=DM+GM=$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$，
∴S_△ADG=$\frac{1}{2}$DG•AM=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$）$\sqrt{2}$=1+$\frac{1}{2}$$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定，勾股定理和正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出輔助線，構(gòu)造直角三角形．