Question

16．如圖，直線y=$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸，且△APB的面積為8時(shí)，求直線PB的解析式；
（3）點(diǎn)Q在第二象限，是否存在以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用△PAB的面積建立方程求出P的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求解即可；
（3）先判斷出點(diǎn)Q在直線y=4上，再分兩種情況討論計(jì)算即可．

解答 解：（1）令x=0時(shí)，y=4，
∴B（0，4），
令y=0時(shí)，$\frac{4}{3}$x+4=0，
∴x=-3，
∴A（-3，0）；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，0）（m＞0），
∵A（-3，0），
∴AP=m-（-3）=m+3，
∵△APB的面積為8，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$AP×OB=$\frac{1}{2}$（m+3）×4=8，
∴m=1，
∴P（1，0），
∵B（0，4），
∴設(shè)直線PB的解析式為y=kx+4，
∴k+4=0，
∴k=-4，
∴直線PB的解析式為y=-x+4；

（3）如圖，
∵以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且P在x軸上，
∴BQ∥AP，
∴點(diǎn)Q在直線y=4上，
由（1）知，A（-3，0），B（0，4），
∴AB=5，
∵點(diǎn)Q在第二象限內(nèi)，
∴①當(dāng)AB為菱形的邊時(shí)，
∴BQ'=AB=5，
∴Q'（-5，4），
②當(dāng)AB為菱形的對(duì)角線時(shí)，AB，PQ互相垂直平分，
∵直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴直線PQ的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$，
當(dāng)y=4時(shí)，則-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$=4，
∴x=-$\frac{25}{6}$，
∴Q（-$\frac{25}{6}$，4），
∴滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-5，4）或（-$\frac{25}{6}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，菱形的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是就本題的關(guān)鍵．