Question

4．如圖，拋物線y=ax²-4ax+b交x軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于C，且OB=OC=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，D為拋物線的頂點(diǎn)，P為對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，連OP交直線BC于G，連GD，是否存在點(diǎn)P，使$\frac{GD}{GO}$=$\sqrt{2}$？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由
（3）如圖2，將拋物線向上平移m個(gè)單位，交BC于點(diǎn)M、N，若∠MON=45°，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把B（3，0），C（0，3），代入y=ax²-4ax+b，解方程組即可．
（2）如圖1中，連接OD、BD，對(duì)稱軸交x軸于K，將△OBD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCG，則點(diǎn)G在線段BC上，只要證明△GOD是等腰直角三角形，即可得到直線GO與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．利用方程組即可解決問題．
（3）如圖2中，將△OCM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBG，首先證明MN²=CM²+BN²，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則MN²=[$\sqrt{2}$（x₂-x₁）]²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x²-4x+3+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3+m}\end{array}\right.$消去y得到x²-3x+m=0，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=3}\\{{x}_{1}{x}_{2}=m}\\{{x}_{1}+{y}_{1}=3}\\{{x}_{2}+{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，推出y₁=x₂，y₂=x₁，M、N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以CM=BN，設(shè)CM=BN=a，則MN=3$\sqrt{2}$-2a，利用勾股定理求出a以及MN的長，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3），代入y=ax²-4ax+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{9a-12a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．

（2）如圖1中，連接OD、BD，對(duì)稱軸交x軸于K．

由題意D（2，-1），B（3，0），K（2，0），C（0，3），
∴OB=OC，KB=KD，
∴∠OBD=∠OCB=45°，
將△OBD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCG，則點(diǎn)G在線段BC上，
∵∠BOD=∠GOC，
∴∠GOD=∠COB=90°，
∵OG=OD，
∴△GOD是等腰直角三角形，
∴GD=$\sqrt{2}$GO，
∴直線GO與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入得到，2k=-1，
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線OD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，
∵OG⊥OD，
∴直線OG的解析式為y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{6}}\\{y=6-2\sqrt{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{6}}\\{y=6+2\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3-$\sqrt{6}$，6-2$\sqrt{6}$）．

（3）如圖2中，將△OCM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBG．

∵∠MON=45°，
∴∠MOC+∠NOB=∠NOB+∠BOG=45°，
∴∠MON=∠GON=45°，∵ON=ON，OM=OG，
∴△ONM≌△ONG，
∴MN=NG，
∵∠NBG=∠NBO+∠OBG=45°+45°=90°，
∴NG²=BN²+BG²，
∴MN²=CM²+BN²，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則MN²=[$\sqrt{2}$（x₂-x₁）]²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x²-4x+3+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3+m}\end{array}\right.$消去y得到x²-3x+m=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=3}\\{{x}_{1}{x}_{2}=m}\\{{x}_{1}+{y}_{1}=3}\\{{x}_{2}+{y}_{2}=3}\end{array}\right.$
∴y₁=x₂，y₂=x₁，
∴M、N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴CM=BN，設(shè)CM=BN=a，則MN=3$\sqrt{2}$-2a，
∴（3$\sqrt{2}$-2a）²=a²+a²，
∴a=3$\sqrt{2}$-3（負(fù)根已經(jīng)舍棄），
∴MN=6-3$\sqrt{2}$，
∴（6-3$\sqrt{2}$）²=2（3²-4m），
∴m=$\frac{9}{2}$（$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)．等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、根與系數(shù)關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用方程組以及根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建方程解決問題，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．