Question

9．如圖①，正方形ABCD邊長為4cm，點(diǎn)A′從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1cm的速度沿射線DC向右運(yùn)動，連結(jié)AA′，線段AA′的中垂線分別與直線DC、AA′、AB交于點(diǎn)E、P、F，連結(jié)AE、A′F，設(shè)點(diǎn)A′的運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）四邊形AEA′F是否為菱形，說明理由；
（2）直接寫出四邊形AEA′F與正方形ABCD重疊部分形狀分別為三角形、四邊形、五邊形時(shí)，所對應(yīng)的t的取值范圍；
（3）如圖②，在點(diǎn)A′從點(diǎn)D出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)M、N從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)M以每秒2cm的速度在邊CD上做往返運(yùn)動，點(diǎn)N以每秒0.5cm的速度沿CB方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后停止．
①求出運(yùn)動過程中點(diǎn)A′、M相遇時(shí)的t的值；
②若點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，三個(gè)動點(diǎn)均停止運(yùn)動，直接寫出運(yùn)動過程中線段MN所在直線垂直于線段AA′所在直線時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：四邊形AEA′F是菱形，只要證明AE=AF=FA′=A′E即可．
（2）分三種情形畫出圖形（見圖2、圖3、圖4），分別求解即可．
（3）①設(shè)點(diǎn)A′與點(diǎn)Mts時(shí)相遇．則有t+2t=4或2t-t=4，解方程即可．②如圖5中，當(dāng)MN⊥AA′時(shí)，延長AA′、NM交于點(diǎn)K．首先證明△CMN∽△DAA′，得$\frac{CM}{AD}$=$\frac{CN}{A′D}$，分五種情形列出方程解方程即可：當(dāng)CM=2t時(shí)，當(dāng)CM=4-（2t-4）時(shí)，當(dāng)CM=2t-8時(shí)，當(dāng)CM=4-（2t-12）時(shí)，當(dāng)CM=2t-16時(shí)．

解答 解：（1）如圖1中，四邊形AEA′F是菱形．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠EA′A=∠FAA′，
∵EF垂直平分AA′，
∴EA=EA′，F(xiàn)A=FA′，
∴∠EAA′=∠EA′A，
∴∠EAP=∠FAP，
在△APE和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠FAP}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠APF=90°}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APF，
∴AE=AF=FA′=A′E，
∴四邊形AEA′F是菱形．

（2）如圖2中，當(dāng)重合部分是五邊形ABMA′D時(shí)，1＜t＜4；如圖3中，當(dāng)重疊部分是四邊形ABCE時(shí)，4≤t＜4+4$\sqrt{2}$；如圖4中，當(dāng)重疊部分是三角形ABM時(shí)，t$≥4+4\sqrt{2}$；

綜上所述，t$≥4+4\sqrt{2}$時(shí)，重疊部分是三角形，4≤t＜4+4$\sqrt{2}$時(shí)重疊部分是四邊形，1＜t＜4時(shí)重疊部分是五邊形．

（3）①設(shè)點(diǎn)A′與點(diǎn)Mts時(shí)相遇．
則有t+2t=4或2t-t=4，
解得t=$\frac{4}{3}$或4，
∴t=$\frac{4}{3}$或4s時(shí)，點(diǎn)A′、M相遇．
②如圖5中，當(dāng)MN⊥AA′時(shí)，延長AA′、NM交于點(diǎn)K．

∵∠ADA′=∠K=∠C=90°，∠AA′D=∠MA′K，
∴∠DAA′=∠KMA′=∠NMC，
∴△CMN∽△DAA′，
∴$\frac{CM}{AD}$=$\frac{CN}{A′D}$，
∵AD=4，A′D=2t，CN=0.5t，
當(dāng)CM=2t時(shí)，$\frac{2t}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=1；
當(dāng)CM=4-（2t-4）時(shí)，$\frac{4-（2t-4）}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=3；
當(dāng)CM=2t-8時(shí)，$\frac{2t-8}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=5；
當(dāng)CM=4-（2t-12）時(shí)，$\frac{4-（2t-12）}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=7；
當(dāng)CM=2t-16時(shí)，$\frac{2t-16}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=9；
∴0＜t＜4+4$\sqrt{2}$，
∴運(yùn)動過程中線段MN所在直線垂直于線段AA′所在直線時(shí)t的值為1s或3s或5s或7s或9s．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性比較強(qiáng)，學(xué)會分類討論，利用構(gòu)建方程的思想解決問題，注意一題多解，屬于中考壓軸題．