Question

10．觀察下列各等式：$\frac{2}{2-4}$+$\frac{6}{6-4}$=2，$\frac{5}{5-4}$+$\frac{3}{3-4}$=2，$\frac{7}{7-4}$+$\frac{1}{1-4}$=2，$\frac{10}{10-4}$+$\frac{-2}{-2-4}$=2，…
（1）猜想并用含字母a的等式表示以上規(guī)律；
（2）證明你寫出的等式的正確性．

Answer 1

分析 （1）觀察給定等式，發(fā)現(xiàn)兩分?jǐn)?shù)的分子之和為8，根據(jù)規(guī)律猜想出結(jié)論；
（2）將等式的左邊通分、合并同類項(xiàng)，得出結(jié)果后與等式的右邊進(jìn)行比較，從而得出結(jié)論．

解答 （1）解：觀察上面等式發(fā)現(xiàn)等式左邊兩分?jǐn)?shù)的分子相加為8，且分子與分母中前面的數(shù)相等，
故猜想存在$\frac{a}{a-4}+\frac{8-a}{8-a-4}$=$\frac{a}{a-4}+\frac{8-a}{4-a}$=2（a≠4）．
（2）證明：等式左邊=$\frac{a}{a-4}+\frac{8-a}{4-a}$，
=$\frac{a-（8-a）}{a-4}$，
=$\frac{2（a-4）}{a-4}$，
=2=右邊．
故該結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)字的變化以及分解因式，解題的關(guān)鍵：（1）發(fā)現(xiàn)等式前面兩分?jǐn)?shù)分子相加為定值8；（2）利用分解因式的方法證明結(jié)論．本題屬于中檔題，有點(diǎn)難度，難點(diǎn)在于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)給定算式找出規(guī)律是關(guān)鍵．