Question

5．如圖，一個橫截面為Rt△ABC的物體，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1m，工人師傅要把此物體搬到墻邊，先將AB邊放在地面（直線l）上，再按順時針方向繞點B翻轉(zhuǎn)到△A₁BC₁的位置（BC₁在l上），最后沿射線BC₁的方向平移到△A₂B₂C₂的位置，其平移的距離為線段AC的長度（此時A₂C₂恰好靠在墻邊）．
（1）請直接寫出AB=2米，AC=$\sqrt{3}$米；
（2）畫出在搬動此物體的整個過程中A點所經(jīng)過的路徑，并求出該路徑的長度．
（3）設(shè)O、H分別為邊AB、AC的中點，在將△ABC繞點B順時針方向翻轉(zhuǎn)到△A₁BC₁的位置這一過程中，求線段OH所掃過部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的三邊關(guān)系，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半，可以直接確定AB、AC．
（2）根據(jù)要求畫出路徑，再用弧長公式求解路徑的長度．
（3）OH掃過的面積=扇形BHH′的面積-扇形BOO′的面積，由此即可計算．

解答 解：（1）∵∠CAB=30°，BC=1米
∴AB=2米，AC=$\sqrt{3}$米．
故答案為2米，$\sqrt{3}$米．

（2）A點經(jīng)過的路徑如圖1中所示，

∵∠ABA₁=180°-60°=120°，A₁A₂=AC=$\sqrt{3}$米
∴A點所經(jīng)過的路徑長=$\frac{120}{180}$•π•2+$\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}$π+$\sqrt{3}$≈5.9（米）．

（3）如圖2中，

由題意△BOH≌△BO′H′，
∴OH掃過的面積=扇形BHH′的面積-扇形BOO′的面積=$\frac{120π•H{B}^{2}}{360}$-$\frac{120π•O{B}^{2}}{360}$=$\frac{1}{4}$π．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、平移變換、勾股定理．扇形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，屬于中考常考題型．