Question

20．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)A，C重合），且AE=CF，連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使GO=OD，連接DE，DF，GE，GF．
（1）求證：四邊形EDFG是正方形；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最��？并求四邊形EDFG面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠EDF=90°，再根據(jù)O為EF的中點(diǎn)、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長(zhǎng)度，從而得出2≤DE＜2$\sqrt{2}$，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．

解答 （1）證明：連接CD，如圖1所示．
∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△EDF為等腰直角三角形．
∵O為EF的中點(diǎn)，GO=OD，
∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，
∴四邊形EDFG是正方形；
（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．
∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴DE′=$\frac{1}{2}$BC=2，AB=4$\sqrt{2}$，點(diǎn)E′為AC的中點(diǎn)，
∴2≤DE＜2$\sqrt{2}$（點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合時(shí)取等號(hào)）．
∴4≤S_{四邊形EDFG}=DE²＜8．
∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根據(jù)正方形的面積公式找出4≤S_{四邊形EDFG}＜8．