Question

20．如圖，Rt△ABC中，BC=11cm，AC=7cm，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿BC勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．
（1）如果點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s，則當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，△MCN的面積等于24cm²？
（2）已知點(diǎn)N的速度每秒比點(diǎn)M快1cm，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)3秒后點(diǎn)N和點(diǎn)M相距10cm，求點(diǎn)M和點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，則CN=2t，CM=11-t，利用三角形的面積建立方程解答即可；
（2）設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為xcm/s，則點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為（x+1）cm/s，CN=3（x+1），CM=11-3x，利用勾股定理建立方程解答即可．

解答 解：（1）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，則CN=2t，CM=11-t，由題意得
$\frac{1}{2}$×2t•（11-t）=24，
解得：t₁=3，t₂=8（C到A的時(shí)間不大于3.5，不合題意，舍去）．
答：當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)3s時(shí)，△MCN的面積等于24cm²；
（2）設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為xcm/s，則點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為（x+1）cm/s，CN=3（x+1），CM=11-3x，由題意得
（3x+3）²+（11-3x）²=10²，
解得x₁=1，x₂=$\frac{5}{3}$，
則x+1=2，
x+1=$\frac{8}{3}$（AC=7，不合題意，舍去）．
答：點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/s，則點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，利用三角形的面積與勾股定理建立方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．