Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=15，AC平分∠BAD，AC與BD交于點(diǎn)O，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△EFD，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F

（1）求證：四邊形形ABCD是菱形
（2）若∠BAD=30°，DE邊為與AB邊相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AC上時(shí)，求證：MD=ME
（3）若△ABD的周長是48，EF邊與BC邊交于點(diǎn)N，DF邊與BC邊交于點(diǎn)P，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△FNP是直角三角形是，△FNP的面積是$\frac{216}{25}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；
（2）如圖1中，連接AE．只要證明△ADE是等邊三角形，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可證明；
（3）如圖2中，作EH⊥DF．當(dāng)DF⊥BC時(shí)，△PNF是直角三角形，想辦法求出PN、PF即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∴四邊形ABCD是菱形．

（2）證明：如圖1中，連接AE．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BO=OD，AC⊥BD，
∴∠FOD=90°，
∵△ABD旋轉(zhuǎn)得到△EFD，
∴∠BDF=∠ADE，AD=DE，BD=DF，
∵點(diǎn)F恰好在AC上，
∴DF=2OD，
在Rt△FOD中，cos∠ODF=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ADE=∠BDF=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠EAD=60°，
∵∠MAD=30°，
∴∠EAM=∠EAD-∠MAD=30°，
∴∠EAM=∠MAD，
∴DM=EM．

（3）解：如圖2中，作EH⊥DF．

∵AB=AD=15，△ABD的周長為48，
∴BD=48-15-15=18，
當(dāng)DF⊥BC時(shí)，△PNF是直角三角形，
在Rt△COB中，OC=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∵$\frac{1}{2}$•BD•OC=$\frac{1}{2}$•BC•DP，
∴DP=$\frac{72}{5}$，
∵DF=BD=18，
∴PF=18-$\frac{72}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∵PN∥EH，
∴$\frac{PN}{EH}$=$\frac{PF}{FH}$，
∴$\frac{PN}{12}$=$\frac{\frac{18}{5}}{9}$，
∴PN=$\frac{24}{5}$，
∴S_△PNF=$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{216}{25}$．
故答案為$\frac{216}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，綜合性比較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題．