Question

3．如圖，在矩形OABC中，F(xiàn)是AB上的一個動點（F不與A，B重合），過點F的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與BC邊交于點E．
（1）當F為AB的中點，四邊形OFBE的面積為6時，求該函數(shù)的解析式；
（2）連接OB交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象于點D，若點D橫坐標為2$\sqrt{2}$，$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，求點B坐標；
（3）在（2）的條件下，當k為何值時，△EFA的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）分別設出E、F的坐標，從而可表示出B點坐標，利用S_矩形OABC-S_△OCE-S_△OAF=6得到關于k的方程，可求得函數(shù)解析式；
（2）過D作DM⊥OA于點M，由條件可求得D點坐標，再由平行線分線段成比例可求得OA和AB的長，從而可求得B點坐標；
（3）用k可分別表示出E、F的坐標，從而可表示出△EFA的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：
（1）在矩形OABC中，設點E坐標為（a，b），點F坐標為（x，y），則點B坐標為（x，2y），
∴${S_{△OCE}}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}k$，${S_{△OAF}}=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}k$，S_矩形OABC=2xy=2k，
∵S_矩形OABC-S_△OCE-S_△OAF=6，
∴$2k-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k=6$，解得k=6，
∴該函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$．

（2）過點D，作DM⊥OA于點M，如圖1，

由題意可知D點橫坐標為$x=2\sqrt{2}$，則縱坐標$y=\frac{6}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
∵DM∥BA，
∴$\frac{OM}{OA}=\frac{DM}{BA}=\frac{OD}{OB}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得OA=4，$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{BA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得AB=3，
∴點B坐標為（4，3）；

（3）E，F(xiàn)兩點坐標分別為E（$\frac{k}{3}$，3），F(xiàn)（4，$\frac{k}{4}$），
∴S_△EFA=$\frac{1}{2}$AF•BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{k}{4}$（4-$\frac{k}{3}$）=-$\frac{1}{24}$k²+$\frac{1}{2}$k=-$\frac{1}{24}$（k-6）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{1}{24}$＜0，
∴當k=6時，S有最大值，S_最大值=$\frac{3}{2}$．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例、二次函數(shù)的性質(zhì)、方程思想及整體思想等知識．在（1）中用k表示出四邊形OFBE的面積是解題的關鍵，在（2）中利用平行線分線段成比例求得AB和OA的長是解題的關鍵，在（3）中用k表示出△EFA的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．