Question

2．若關(guān)于x的方程（1-2k）x²-2$\sqrt{k+1}$x-1=0，當(dāng)k為何值時，①有兩個不相等的實(shí)數(shù)解？②有兩個相等的實(shí)數(shù)解？③無解？④有解？

Answer 1

分析 ①方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，則1-2k≠0，k+1≥0，且△＞0，建立關(guān)于k的不等式組，求得k的取值范圍；
②方程有兩個相等實(shí)數(shù)根，則1-2k≠0，k+1≥0，且△=0，依此即可求得k的值；
③方程無解，則1-2k≠0，k+1≥0，且△＜0，或k+1＜0，依此即可求得k的取值范圍；
④分兩種情況：如果k=$\frac{1}{2}$，是一元一次方程，一定有解；如果1-2k≠0，是一元二次方程，由①與②即可得解．

解答 解：①由題意得，1-2k≠0，k+1≥0，且△=4（k+1）-4（1-2k）（-1）=8-4k＞0，
解得-1≤k＜2且k≠$\frac{1}{2}$；

②由題意得，1-2k≠0，k+1≥0，且△=4（k+1）-4（1-2k）（-1）=8-4k=0，
解得k=2；

③由題意得，1-2k≠0，k+1≥0，且△=8-4k＜0，或k+1＜0，
解得k＞2或k＜-1；

④分兩種情況：
如果k=$\frac{1}{2}$，是一元一次方程，一定有解；
如果1-2k≠0，是一元二次方程，由①與②可知-1≤k≤2且k≠$\frac{1}{2}$；
綜上可知，-1≤k≤2．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．
也考查了一元二次方程的定義，二次根式的性質(zhì)以及分類討論的思想．