Question

16．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)DE、BF相交天點(diǎn)G，連接BD、CG．有下列結(jié)論：①∠FGE=120° ②BG+DG=CG ③△BDF≌△CGB ④S_{四邊形AEGF}=S_△BDG，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由菱形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由四邊形的內(nèi)角和為360°就可以求出∠BGD的值，由直角三角形的性質(zhì)就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG，在直角三角形GBC中，CG＞BC=BD，故△BDF與△CGB不全等，由等邊三角形的性質(zhì)和三角形面積關(guān)系得出④正確，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD．
∵∠A=60°，
∴∠BCD=60°，△ABD是等邊三角形，
∴△BDC是等邊三角形．∠ADB=∠ABD=60°，
∴∠CDB=∠CBD=60°．
∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，
∴∠BFD=∠DEB=90°，
∴∠GDB=∠GBD=30°，
∴∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，
∴∠FGE=∠BGD=360°-90°-90°-60°=120°，故①正確；
在△CDG和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}&{\;}\\{DG=BG}&{\;}\\{CG=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBG（SSS），
∴∠DGC=∠BGC=60°．
∴∠GCD=30°，
∴CG=2GD=GD+GD，
∴CG=DG+BG．故②正確．
∵△GBC為直角三角形，
∴CG＞BC，
∴CG≠BD，
∴△BDF與△CGB不全等．故③錯(cuò)誤；
∵△ABC是等邊三角形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，
∴△ADE的面積=△BDE的面積=△ABF的面積，
∴△DFG的面積=△BEG的面積，
∴S_{四邊形AEGF}=S_△BDG，故④正確；
∴正確的有：①②④共3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，四邊形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．