Question

9．如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S_{四邊形AOBO′}=6+3$\sqrt{3}$．其中正確的結(jié)論是①②③．

Answer 1

分析 連接OO′，如圖，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO′=BO=4，∠OBO′=60°，再利用△ABC為等邊三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可判斷△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；接著證明△BOO′為等邊三角形得到∠BOO′=60°，OO′=OB=4；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AO′=OC=5，利用勾股定理的逆定理證明△AOO′為直角三角形，∠AOO′=90°，于是得到∠AOB=150°；最后利用S_{四邊形AOBO′}=S_△AOO′+S_△BOO′可計(jì)算出S_{四邊形AOBO′}=6+4$\sqrt{3}$．

解答 解：連接OO′，如圖
∵線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，
∴BO′=BO=4，∠OBO′=60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，則①正確；
∵BO′=BO=4，∠OBO′=60°，
∴△BOO′為等邊三角形，
∴∠BOO′=60°，OO′=OB=4，所以②正確；
∵△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
∴AO′=OC=5，
在△AOO′中，∵OA=3，OO′=4，AO′=5，
∴OA²+OO′²=AO′²，
∴△AOO′為直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，所以③正確；
S_{四邊形AOBO′}=S_△AOO′+S_△BOO′=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=6+4$\sqrt{3}$，所以④錯(cuò)誤．
故答案為①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．