Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CA、CD分別切⊙O于A、D，CO的延長線交⊙O于M，連BD、DM．
（1）求證：BD∥CM；
（2）若sinB=

4

5

，求cos∠BDM．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AC，OD⊥CD，易證得Rt△OAC≌△Rt△ODC，則∠AOC=∠DOC，由圓周角定理得∠AOD=2∠OBD，而∠OBD=∠ODB，所以∠AOC=∠DOC=∠OBD=∠ODB，則可判斷CM∥BD，
（2）由CM∥BD，所以∠BDM=∠M，而∠DOC=2∠M，則∠DOC=2∠BDM，即∠B=2∠BDM，從而求得∠AOC=2∠BDM，作OE平分∠AOC，交AC于E，作EF⊥OC，得出EF=AE，OA=OF，∠AOE=∠BDM，根據(jù)已知設(shè)AC=4x，OC=5x，則OA=3x，根據(jù)勾股定理求得AE和OA的關(guān)系，進(jìn)而即可求得cos∠BDM．

解答：證明：（1）連結(jié)OD，如圖，
∵CA、CD分別與⊙O相切于A、D，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
在Rt△OAC和△Rt△ODC中，

OA=OD OC=OC

，
∴Rt△OAC≌△Rt△ODC（HL），
∴∠AOC=∠DOC，
∴∠AOD=2∠AOC，
∵∠AOD=2∠OBD，
∴∠AOC=∠OBD，
∴BD∥CM．
（2）∵CM∥BD，
∴∠BDM=∠M，
∵OD=OB=OM，
∴∠ODM=∠OMD，∠ODB=∠B
∴∠DOC=2∠BDM，
∴∠B=2∠BDM．
∵∠AOC=∠B，
作OE平分∠AOC，交AC于E，作EF⊥OC，
∴EF=AE，OA=OF，∠AOE=∠BDM，
∴F在圓上，
設(shè)AE=EF=y，
∵sinB=

4

5

，
∴sin∠AOC=

AC

OC

=

4

5

，
∴設(shè)AC=4x，OC=5x，則OA=3x，
在RT△EFC中，EC=4x-y，CF=5x-3x=2x，
∴（4x-y）²=y²+（2x）²，
解得，y=

3

2

x，
∴OE=

OA2+AE2

=

(3x)2+( 3 2 x)2

=

3 5

2

x，
∴cos∠BDM=cos∠AOE=

OA

OE

=

3x

3 5 2 x

=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，也考查了圓周角定理．作出輔助線構(gòu)建直角三角形是關(guān)鍵．