Question

15．已知⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，連接BI，CI，DE，DF，試猜想∠BIC與∠FDE有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 根據(jù)圓I是△ABC的內(nèi)切圓求出∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°+$\frac{1}{2}∠$A，連接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EIF=90°-$\frac{1}{2}∠$A，即可求出答案．

解答 解：∵圓I是△ABC的內(nèi)切圓，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
連接IF、IE，
∵圓I是△ABC的內(nèi)切圓，
∴∠IFA=∠IEA=90°，
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=180°-∠A，
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EIF=90°-$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠BIC+∠FDE=90°+$\frac{1}{2}∠$A+90°-$\frac{1}{2}∠$A=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．