Question

1．如圖1，等腰△ABC中，AC=BC=5，AB=$2\sqrt{5}$，O為腰AC上的一個動點，以O為圓心OA為半徑作⊙O交AB于點P，PD⊥BC于點D．
（1）求證：PD為⊙O的切線；
（2）如圖2，當O點運動到⊙O恰好與BC相切時，設切點為E點，連接CP，求tan∠BCP的值．

Answer 1

分析 （1）連接OP，先證OP∥BC，得出PD⊥OP，即可得出結論；
（2）連接OE、OP，過C作CF⊥AB于F，先求出∠B的正切值，得出邊長關系，再證明四邊形OPDE為正方形，設出半徑，根據題意列出方程，解方程求出半徑，得出CD、FD，即可得出結論．

解答 （1）證明：連接OP，如圖1所示：
∵OP=OA，AC=BC，
∴∠OPA=∠A，∠A=∠B，
∴∠OPA=∠B，
∴OP∥BC，
∵PD⊥BC，
∴PD⊥OP，
∴PD為⊙O的切線；
（2）解：連接OE、OP；如圖2所示：
 過C作CF⊥AB于F，則F為AB的中點，
∴AF=BF=$\sqrt{5}$，
∵AC=BC=5，
∴CF=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5）^{2}}}$=2$\sqrt{5}$，
∴tanA=tanB=$\frac{CF}{BF}$=2，
∵⊙O與BC相切，
∴∠OED=90°，
∴四邊形OPDE是矩形，
∵OP=OE，
∴四邊形OPDE為正方形
∴OP=OE=PD=ED，設OP=OE=PD=ED=r，
則BD=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{r}{2}$，CE=5-$\frac{3r}{2}$，OC=5-r，
在Rt△OCE中，（5-$\frac{3r}{2}$）²+r²=（5-r）²，
解得：r=$\frac{20}{9}$，
∴CD=5-$\frac{1}{2}$r=$\frac{35}{9}$，PD=$\frac{20}{9}$，
∴tan∠BCP=$\frac{PD}{CD}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質、正方形的判定方法、銳角三角函數、勾股定理的運用；熟練掌握切線的判定與性質，通過設未知數列出方程得出答案是解決問題的關鍵．