Question

3．如圖，以長方形OABC的頂點O為原點，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，連結BD，點A關于BD的對稱點恰好落在線段BC邊上的點F處．
（1）直接寫出點E，F的坐標；
（2）在線段CB上是否存在一點P，使△OEP為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使四邊形MNFE的周長最�。咳绻�存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標就可以求出．
（2）用平面坐標系中兩點間的距離公式即可得出線段，再分三種情況用邊相等建立方程求解即可得出結論．
（3）作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．

解答 解：（1）∵OC=2，四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC=2，
∵點E是AB的中點，
∴AE=1，
∵AO=3，
∴E（3，1），
根據折疊可得DA=DF，
∴DF=CO=2，
∴AD=2，
∴DO=3-2=1，
∴F（1，2），
（2）存在，
理由：
由（1）知，E（3，1），O（0，0）
設P（a，2）（0≤a≤3），
∴PE=$\sqrt{（a-3）^{2}+1}$，PO=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，EO=$\sqrt{10}$，
∵△OEP為等腰三角形，
∴①當PE=PO時，∴$\sqrt{（a-3）^{2}+1}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
∴a=1，
∴P（1，2）；
②當PE=EO時，∴$\sqrt{（a-3）^{2}+1}$=$\sqrt{10}$，
∴a=0或a=6（舍），
∴P（0，2），
③當PO=EO時，∴$\sqrt{{a}^{2}+4}$=$\sqrt{10}$，
∴a=$\sqrt{6}$或a=-$\sqrt{6}$（舍），
∴P（$\sqrt{6}$，2），
即：滿足條件的點P的坐標為（1，2）或（0，2）或（$\sqrt{6}$，2）．
（3）如圖2，

作點E關于x軸的對稱點E′，
作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別
與x軸、y軸交于點M、N，連接FN、NM、ME，
此時四邊形MNFE的周長最�。�
∴E′（3，-1），F′（-1，2），
設直線E′F′的解析式為y=kx+b，
有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，
解這個方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線E′F′的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$．
當y=0時，x=$\frac{5}{3}$，
∴M點的坐標為（$\frac{5}{3}$，0）．
當x=0時，y=$\frac{5}{4}$，
∴N點的坐標為（0，$\frac{5}{4}$）．
∵E與E′關于x軸對稱，F與F′關于y軸對稱，
∴NF=NF′，ME=ME′．F′B=4，E′B=3．
在Rt△BE′F′中，F'E'=$\sqrt{F'{B}^{2}+E'{B}^{2}}$=5．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=5．
在Rt△BEF中，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴FN+NM+ME+EF=F'E'+EF=5+$\sqrt{5}$，
即四邊形MNFE的周長最小值是5+$\sqrt{5}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，勾股定理，等腰三角形的性質，求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據對稱轉化為兩點之間的距離的問題．