Question

拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，在其對(duì)稱軸上有點(diǎn)P，當(dāng)PA+PC取最小值時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：

分析：由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)P點(diǎn)在線段AC上就可使PA+PC的值最小，再由P點(diǎn)要在對(duì)稱軸上，可知P點(diǎn)應(yīng)為線段AC與對(duì)稱軸直線x=-1的交點(diǎn)，由（1）中求出的C點(diǎn)坐標(biāo)即可得出拋物線的表達(dá)式，故可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，把x=-1代入即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；

解答：解：如圖，∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴當(dāng)P點(diǎn)在線段BC上就可使PA+PC的值最小．
又∵P點(diǎn)要在對(duì)稱軸上，
∴P點(diǎn)應(yīng)為線段BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴對(duì)稱軸x=1，
由拋物線的表達(dá)式為：y=x^2-2x-3．
∴C（0，-3），
令y=0，則x²-2x-3=0．
解得：x₁=3，x₂=-1．
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（-1，0）、B（3，0），
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，則

3k+b=0 b=-3

解得 

k=1 b=-3

∴直線BC的表達(dá)式為y=x-3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=1×1-3=-2．
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）；
故答案為（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，軸對(duì)稱--最短路線問題，找到P點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．