Question

2．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，點(diǎn)M，N，N，P，Q分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：四邊形MNPQ是矩形．

Answer 1

分析 首先設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，AC與QM交于點(diǎn)F，BD與PQ交于點(diǎn)E，由AB=AD，CB=CD，可得AC是BD的垂直平分線，由點(diǎn)M，N，N，P，Q分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，易證得四邊形OEQF是平行四邊形，則可得∠MQP=∠AOD=90°，同理：∠QMN=∠MNP=90°，繼而證得四邊形MNPQ是矩形．

解答 證明：如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，AC與QM交于點(diǎn)F，BD與PQ交于點(diǎn)E，
∵AB=AD，CB=CD，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)C都在BD的垂直平分線上，
∴AC是BD的垂直平分線，即AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵點(diǎn)M，N，N，P，Q分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴MQ∥BD，PQ∥AC，
∴四邊形OEQF是平行四邊形，
∴∠MQP=∠AOD=90°，
同理：∠QMN=∠MNP=90°，
∴四邊形MNPQ是矩形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的判定、三角形中位線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)與判定．注意證得AC是BD的垂直平分線與四邊形OEQF是平行四邊形是解此題的關(guān)鍵．