Question

13．如圖，在?ABCD中，P是對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)；過點(diǎn)P再作GH∥AB，分別與AD，BC相交于點(diǎn)G，H，圖中有幾個(gè)平行四邊形？其中哪幾對(duì)平行四邊形面積相等？為什么？

Answer 1

分析 由平行四邊形的判定方法容易得出圖中的平行四邊形有9個(gè)；由平行四邊形的一條對(duì)角線可以把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形，面積相等，得出S_?AEPG=S_?HCFP，得出S_?ABHG=S_?BCFE，S_?AEFD=S_?HCDG．

解答 解：圖中有9個(gè)平行四邊形；其中有3對(duì)對(duì)平行四邊形面積相等S_?ABHG=S_?BCFE，S_?AGPE=S_?HCFP，S_?AEFD=S_?HCDG．
理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴圖中的平行四邊形有：?ABCD，?ABHG，?GHCD，?AEFD，?BCFE，?AEPG，?BHPE，?PFDG，?PHCF共9個(gè)．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S_△ABD=S_△CBD．
∵BP是平行四邊形BEPH的對(duì)角線，
∴S_△BEP=S_△BHP，
∵PD是平行四邊形GPFD的對(duì)角線，
∴S_△GPD=S_△FPD．
∴S_△GPD=S_△FPD．
∴S_△ABD-S_△BEP-S_△GPD=S_△BCD-S_△BHP-S_△PFD，
即S_?AEPG=S_?HCFP，
∴S_?ABHG=S_?BCFE，
同理S_?AEFD=S_?HCDG．
即：S_?ABHG=S_?BCFE，S_?AGPE=S_?HCFP，S_?AEFD=S_?HCDG．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的面積；熟練掌握平行四邊形的判定方法，熟記平行四邊形的一條對(duì)角線可以把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形是解決問題的關(guān)鍵．