Question

8．二次函數(shù)y=一x²+ax+b圖象與x軸交于A（$-\frac{1}{2}$，0），B（2，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）則△ABC的形狀為直角三角形；
（2）在此拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）．

Answer 1

分析 （1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可確定拋物線的解析式；進(jìn)而可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，然后再判斷△ABC的形狀；
（2）若A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，則有兩種情況需要考慮：
①以BC、AP為底，可先求出直線BC的解析式，進(jìn)而可確定直線AP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②以AC、BP為底，方法同①．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a+b=0}\\{-4+2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$；
∴拋物線的解析式為y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1；
∴C（0，1）；
∴AC²=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$，BC²=1+4=5，AB²=（2+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{25}{4}$；
∴AC²+BC²=AB²，即△ABC是直角三角形；
故答案為：直角三角形；
（3）①若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的梯形以BC、AP為底，如圖1；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+1；
設(shè)過點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，0）且平行于BC的直線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+h，
則有：（-$\frac{1}{2}$）×（-$\frac{1}{2}$）+h=0，h=-$\frac{1}{4}$；
∴y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$；
聯(lián)立拋物線的解析式有：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}\\{y=-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
∴點(diǎn)P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
②若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的梯形以AC、BP為底，如圖2，
同理可求得P（-$\frac{5}{2}$，-9）；
故當(dāng)P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）時(shí)，以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．
故答案為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)的綜合類試題，考查了二次函數(shù)解析式的確定，直角三角形、等腰三角形、直角梯形的判定，難度適中．