Question

17．已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，AB=BC，CD=DE，∠ABC=90°，∠CDE=90°，CD＞BC，取線段AE的中點(diǎn)M，連結(jié)BM、DM、BD．
（1）如圖1，當(dāng)BC⊥CE時(shí)，連接AE，試猜想BM與MD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請直接寫出答案；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，其他條件不變，試探究BM與MD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB交BM的延長線于一點(diǎn)F，連接DF，由平行線的性質(zhì)得到∠1=∠MEF，∠ABM=∠EFM，通過證明△ABM≌△EFM，得到BM=MF，AB=EF，于是證得△BCD≌△FED，得到BD=DF，∠5=∠6，推出∠BDF=∠CDE=90°，因?yàn)锽M=MF，得到△BDM是等腰直角三角形；
（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF∥AB交BM的延長線于一點(diǎn)F，連接DF，同理易證：△ABM≌△EFM得到AB=EF，BM=MF，∠A=∠MEF=45°，由于∠ACB=∠DCE=∠BCA=∠DEM=45°，得到∠BCD=∠DEF=90°，證得△BCD≌△FED，得到∠BDC=∠EDF，BD=DF，∠BDF=∠CDE=90°，推出△BDM是等腰直角三角形．

解答 證明：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB交BM的延長線于一點(diǎn)F，連接DF，
∴∠1=∠MEF，∠ABM=∠EFM，
在△ABM與△EFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠MEF}\\{ABM=∠EFM}\\{AM=EM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=MF，AB=EF，
∵AB=BC，
∴BC=EF，
過C作CN⊥AE于N，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
易得；∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠DEF=∠4+∠MEF=∠2+∠3=∠BCD，
在△BCD與△FED中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{∠BCD=∠DEF}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FED，
∴BD=DF，∠5=∠6，
∴∠BDF=∠CDE=90°，
∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，BM⊥DM；

（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF∥AB交BM的延長線于一點(diǎn)F，連接DF，
同理易證：△ABM≌△EFM，
∴AB=EF，BM=MF，∠A=∠MEF=45°，
∵∠ACB=∠DCE=∠BCA=∠DEM=45°，
∴∠BCD=∠DEF=90°，
在△BCD與△FED中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=EF}\\{∠BCD=∠FED}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FED，
∴∠BDC=∠EDF，BD=DF，
∴∠BDF=∠CDE=90°，
∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，BM⊥DM．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．