Question

若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β

（1）如圖①，AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，若AM∥BN，則α與β有何關(guān)系？并說(shuō)明理由．
（2）如圖②，若∠EAC的平分線所在直線與∠FBC平分線所在直線交于P，試探究∠APB與α、β的關(guān)系是

 

．（用α、β表示）
（3）如圖③，若α≥β，∠EAC與∠FBC的平分線相交于P₁，∠EAP₁與∠FBP₁的平分線交于P₂；依此類推，則∠P₅=

 

．（用α、β表示）

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義表示出∠MAC+∠NCB，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠C=∠MAC+∠NCB；
（2）根據(jù)角平分線的定義表示出∠PAC+∠PBC，再分點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方和上方兩種情況，利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式整理即可得解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論分別表示出∠P₁、∠P₂…，從而得解．

解答：解：（1）∵AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，
∴∠MAC+∠NCB=

1

2

∠EAC+

1

2

∠FBC=

1

2

β，
∵AM∥BN，
∴∠C=∠MAC+∠NCB，
即α=

1

2

β；
（2）∵∠EAC的平分線與∠FBC平分線相交于P，
∴∠PAC+∠PBC=

1

2

∠EAC+

1

2

∠FBC=

1

2

β，
若點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方，則∠C=∠APB+（∠PAC+∠PBC），
即α=∠APB+

1

2

β，
若點(diǎn)P在點(diǎn)C的上方，則∠C+∠APB=∠PAC+∠PBC，
即α+∠APB=

1

2

β；
綜上所述，α=∠APB+

1

2

β或α+∠APB=

1

2

β；

（3）由（2）得，∠P₁=∠C-（∠PAC+∠PBC）=α-

1

2

β，
∠P₂=∠P₁-（∠P₂AP₁+∠P₂BP₁），
=α-

1

2

β-

1

4

β=α-

3

4

β，
∠P₃=α-

3

4

β-

1

8

β=α-

7

8

β，
∠P₄=α-

7

8

β-

1

16

β=α-

15

16

β，
∠P₅=α-

15

16

β-

1

32

β=α-

31

32

β．
故答案為：（2）α=∠APB+

1

2

β或α+∠APB=

1

2

β；（3）α-

31

32

β．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．